Nullstellenberechnung von x³-x+1

Hi @ll
kann irgendjemand mal bitte die nullstellen von x³-x+1 ausrechnen?
blick da grad irgendwie nich durch

tia

-1,324

ähh kann mir auch jmd den lösungsweg aufschreiben, das ergebnis alleine nützt mir nich so viel! danke

newton'sches näherungsverfahren

hat nexus doch schon

NewtonschesNäherungsverfahren

http://upload.wikimedia.org/wikiped...eration_Ani.gif

würd dir aber raten gelegentlich mal in ein mathe-buch zu schaun.
das stinkt nämlich nach hausaufgabe, und damit stehts sicher in deinen unterlagen

Zitat

Given a univariate expression u(x) and an initial guess of x0, Newton's method uses repeated applications of the update formula xnew ¬ x - u(x)/u(x)' evaluated at the current value of x to find an x such that u(x) is arbitrarily close to zero. Newton's method can be used to find an approximate solution of a univariate equation by taking the difference of the two sides of the equation. Also, the method can be extended to solve a system of m equations dependent on m variables. Note that Newton's method requires that Derive be able to differentiate the expressions with respect to each of the solution variables.

NEWTON(u, x, x0, n) approximates to a vector of n+1 approximations for the variable x resulting from n applications of Newton's method to the univariate expression u(x) beginning with an initial guess of x0. NEWTON(u, x, x0) approximates to a vector of the approximations for x until they converge at the current digits of precision. For example, at 10 digits of precision, the expression

NEWTON(x^2-3, x, 2)

approximates to

[2, 1.75, 1.732142857, 1.732050810, 1.732050810, 1.732050810]

grad noch die derive hlp befragt, da hast du gleich auch den passenden befehl

Zitat von D-Man

also gibt keiner den lösungsweg an?

@nexus würde ich das verfahren kennen, hätte ich nicht fragen brauchen

Die Formel für Newtonsche Näherungsverfahren ist folgendermaßen:

x(n) = x(n-1) - f(x(n-1))/f'(x(n-1)) (Eigentlich wollte ich die indizes tief stellen statt in Klammern schreiben aber ich weiß nicht, wie das geht)

x(n)...Wert von x nach n Schritten
x(n-1)...Wert von x nach n-1 Schritten

Man fangt mit einem beliebigen Startwert x(0) an. Allerdings funktioniert das Verfahren nicht für alle Funktionen und nicht für alle Startwerte, am besten Funktioniert es natürlich mit Startwerten in der Nähe von der Nullstelle.

Hier noch eine kleine Illustration zum Verfahren:



Man sieht also, dass man in diesem fall sehr schnell der Nullstelle näherkommt (beim 2. Schritt wär die Tangente schon so nah an der Funktion, dass ich sie garnicht einzeichnen könnte).

Das Newtonsche Näherungsverfahren ist meistens sehr schnell, man braucht meistens nicht mehr als 3-4 Schritte um das Ergebnis auf 6 Stellen genau zu haben, vorrausgesetzt man wählt einen guten Startwert.

Allerdings gibt es auch viele Fälle, wo das Verfahren versagt, z.B. stehen die Chancen dafür gut, wenn man bei der folgenden Funktion bei einem der steilen Abschnitte der Funktion in der nöähe vom lokalen Minimum anfangt:



In einer Schularbeit werden aber nur Funktionen herauskommen, wo man bei einem Startwert x(0), der ein niedriges f(x(0)) ergibt (am besten mit Horner finden oder in einfachen Fällen durch raten) in spätestens 4 Schritten oder so ein ausreichend genaues Ergebnis hat...

Das Verfahren versagt auch meistens bei Funktionen, die ein Minimum/Maximum in der Nähe der Nullstelle haben, weil diese in der nähe der Nullstelle meistens noch zu flach sind (Ausnahmen wie f(x)=x² bestätigen die Regel)...

Die Formel willst du auch nicht sehen
Ich kann das Näherungsverfahren zwar nicht, aber es kann eigentlich nur einfacher sein